什么是复分析?

时间:2020-10-15 09:05:42   作者:
极大地简化了复变分析,当你有复值函数时,这是微积分的研究。正如列夫鲍里索夫正确地指出的那样,复变分析的基本理论可能是数学中最美丽的部分之一。复值函数是非常严格的,因此,所有你想要的结果都是有效的。

为了解释这意味着什么,从实值函数的情况开始是有帮助的。如果你给我一个任意可微的实值函数f(x)我几乎没什么可说的。我不能告诉你它长得有多快;我不能告诉你它有多少个零;我不能告诉你它是否有泰勒展开式;如果它有泰勒展开式,我不能告诉你这个泰勒展开式是否收敛于原始函数。(这里有一个函数的泰勒展开不收敛于原函数的例子,这里有一个在任何地方都不可微的连续函数——它的积分是可微的,但肯定不会有泰勒展开。)

但是,我们取一个函数f(z)它接收一个复数并返回一个复数,我们考虑它的复导数,定义为



然后我们会有惊人的不同行为。具体地说,如果在一个邻域是复可微的(也称为全纯的),那么它在那个邻域是无限可微的,它的泰勒展开(因此是有定义的)必须收敛于函数本身!

这是非常有用的,因为在物理和工程中考虑的大多数函数——当扩展到复杂领域时——都是全纯的,这意味着我们可以在研究这些东西时充分利用复分析。而复分析的权重也不是什么可以嘲笑的!复分析给出了许多奇妙的结果,极大地简化了各种积分和级数的计算。它还提供了许多建立各种恒等式的简单方法,因为如果你在任何区域上指定一个全纯函数,它会自动确定它在任何其他点上的值(在一个简单连通区域——本质上是一个没有“洞”的连通区域)。那么,展示全纯函数之间简单关系的一个策略就是证明它们在某个集合上是相等的这很容易证明,你可以得到它们在其他任何地方都是相等的。

但这还不是全部!对全纯函数的另一种描述是它们是平面上保持方向和角度的光滑函数。也就是说,它们可能不能保持点之间的距离,但如果你观察曲线前后的角度,它们是保持不变的。

我们总是可以找到这样的映射。精确,黎曼映射定理指出,如果你给我任何两个(打开)地区单连通的复平面,而不是整个复平面,然后是一个可逆的全纯函数定义在第一区域,其形象是第二个地区。这也是一个非常有用的结果——这意味着我们可以在一个简单的定义域内定义流线之类的东西,然后用一个全纯函数将它们映射到我们想要的区域。例如,用这种方法可以将拉普拉斯方程的解从一个域转移到另一个域。下面给出一个将正交曲线族从一个域转移到另一个域的简单例子。

双曲几何的学生无疑会认识到,上面的图表只不过是一个从双曲平面的庞加莱圆盘模型到庞加莱半平面模型的转换说明。这说明了复分析的另一个重要方面:它是一个非常强大的几何工具。即使只考虑基本函数f(z)=az+bcz+d,也会给出大量迷人的理论。我利用我的答案是什么地图的应用程序x↦1 x几何理论和/或号码?摘要利用形式f(z)=az+bcz+d的变换,说明圆的交点问题如何从一般困难的情况转换为简单的具体情况。

在同样的答案中,我还通过自同构函数的理论说明了这种变换对数论有很大的重要性。我不会在这里再讲一遍,但是我将注意到,一般来说,复分析对于数论是一个非常有用的工具(尽管这可能令人惊讶)。例如,它是通过研究黎曼齐塔函数的解析性质来证明质数定理的主要工具。

这可以作为复数分析有用性的例子。但我想澄清一点:这并不是一个详尽的列表!复杂分析是一种非常基本的工具,因此它往往会深入到各种预期的和未预期的上下文中。
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