你能从规范理论,推导出麦克斯韦方程吗?

时间:2022-07-14 10:20:35   作者:
你不需要规范理论。麦克斯韦的理论基本上就是一些恒等式。假设四位势存在。我现在应用外导数算子,形成2型(完全反对称协变秩2张量)现在再次应用外导算子。这个算子是幂零的。把它写成分量形式(这里我就不写了,不是因为难,只是因为有点乏味),这就是法拉第定律和高斯定律,也就是两个麦克斯韦方程。

现在我们需要别的东西,技术上讲,一个度规,这样我们就可以形成协导数算子,外导数的对偶(用星号表示)。利用这个我们形成了四电流:这个定义实际上相当于高斯定律和安培定律,剩下的两个麦克斯韦方程。因为这就是电荷守恒定律。

能从规范理论推导出麦克斯韦方程吗

这就是麦克斯韦的所有理论。

现在你可能会想,电流是任意引入的。真实的。建立麦克斯韦理论的替代物是可能的。如上所形成的电流是无质量电流。但我们可以用这个方程来表示它,这种形式的电流引出了麦克斯韦理论的另一种形式,也就是普罗卡的大质量电磁学理论,用一个质量项来表示。

这个公式的美妙之处在于,它甚至在弯曲时空中仍然有效,也就是说,它描述了在广义相对论弯曲背景下的麦克斯韦理论。这种表示法可以很容易地转换为相对论中使用的索引张量表示法,并/或使用更传统的3+1维形式,这可能对某些计算更方便。

最后我要提到的是,上面隐含的一个假设是,四势在任何地方都至少是三倍可微的,而且时空的拓扑是微不足道的。如果不是这样,结果可能会改变,方程可能承认,例如,磁单极子。
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