理解量子引力的主要数学工具是什么？

问题是我们还不知道这是什么样子的。有许多不同的想法，但没有人知道这些想法是否沿着正确的路线。

但为了一个简短的概述:

弦理论使用了普通的、微扰的量子场论的形式，以及一些复杂的几何图形(比如Calabi-Yau流形)。

与此有些关联的是，非交换几何的形式主义使用了同名的形式主义。这个想法的中心假设是，时空在短距离上是“模糊的”;这与普通粒子“模糊”的方式有关，在量子理论中，由于不确定原理，人们无法确定它们的动量和位置到任意精度。事实上，非交换几何精确地引出了测不准原理的一个版本，其中一个人不能确定一个粒子沿多个方向的任意位置的位置。

圈量子引力使用自旋泡沫的形式和一般协变量子力学(在卡罗罗维利的已知文本中描述)。在LQG中，我们首先假设时空是量子力学的，并且该理论通常是协变的，并且遵循等效原理，然后我们发现时空是量子化的。由此产生的“原子”时空结构可以用量子自旋网络来描述，量子自旋与连接节点的边缘相连，这些节点构建了离散的时空结构;这描述了一种自旋泡沫结构。

全息纠缠熵是从弦理论中衍生出来的一种方法，其中引力的量子理论可以用一些“边界场论”来“全息”描述。这个项目的主要信息似乎是引力和量子纠缠是密切相关的，这使得Susskind和其他人声称量子引力在某种意义上是纠缠。除了量子场论和广义相对论，这里最相关的形式主义是量子信息论。

正如我所说，没有人知道这些想法是否就是我们正在寻找的理论。在新的数学之前，必须先有新的物理假设。举例来说，爱因斯坦不仅猜测他需要黎曼几何，而且是由相对论原理和等价原理引导到那里的。