贝尔定理陈述如下:
“没有一个局部的、现实的理论可以重现量子力学的预言。”
理解它的主要困难是有两个词:“现实的”和“当地的”，这两个词在贝尔的语境中有非常具体的含义，但也有一些不同的日常含义。最好称它们为“贝尔现实主义”和“贝尔地方性”。
让我们更精确地定义每一个。
为此，我们必须开始介绍用于Bell proof的概念框架。我们有两个标记为1和2的量子系统，每个系统都可以通过本地仪器测量其状态，同样标记为1和2。鉴于此，有两个前提来证明:
贝尔现实主义:在每一个测量结果上都有明确定义的概率分布(例如，系统1的结果，系统2的结果，以及两者的联合结果)。
钟的位置:它有助于分解为:
远程上下文独立性:系统1上的测量结果不依赖于远程测量设备2的设置(例如，它的方向，它是开还是关)。
远程结果独立性:系统1上的测量结果不依赖于远程系统2上的测量结果。
这些条件看起来很普遍，也很合理。所有的经典理论都遵循它们，它们涵盖了各种各样的可能性。(例如，它涵盖的理论可以是概率的或确定性的，它可以有许多“隐藏变量”你喜欢，或者它可以限制只在那些QM。)
现在，把这些条件放在一起，证明过程是这样的:
我们考虑了在纠缠态中制备的粒子的共同来源，例如电子，并建立了一个我们知道总自旋为零的联合态。然后我们把它们发射到相反的方向，直到它们分开很远。这些电子态是状态1和状态2。
我们的测量仪器1和2是两个探测器，给定一个特定的测量轴，测量电子自旋是向上还是向下。显然，我们可以让这两台机器对齐(沿着同一轴测量)或者以任何角度相对。玩这个角度是下面的关键。
贝尔定理的技术工作在于，在给定贝尔现实主义和贝尔局部性的情况下，观察在仪器1和2的测量结果之间的相关性上施加了什么约束。然后我们把这个和量子力学的预测进行比较。
数学是很复杂的，但是让我们通过观察当你测量两个电子沿同一轴的自旋时会发生什么来热身(也就是说，两个探测器之间的角度是0度或180度)。正如您所期望的那样，这绝对是很好的，也没什么了不起的。我们准备的公共状态保证了总状态为0，所以只要一个检测器显示自旋向上，我们就保证另一个检测器必须显示自旋向下。所以我们得到了完美的相关性。用贝尔局部的，贝尔现实理论来得到完美的相关性是很简单的。(例如，一个隐藏变量理论，其中一个电子总是秘密地向上自旋，另一个电子总是秘密地向下自旋)。没有违反地方或任何有趣的要求。
但探测器之间的其他角度也是如此吗?在贝尔之前，唯一考虑的其他角度是90或270度，很容易看出这种情况也很好，有零相关性，这可以通过一个局部的现实理论恢复。
那么我们应该尝试其他角度吗?这是一个震撼世界的结果。
当你通过贝尔实在论和贝尔局部性的约束，并在所有角度画出这些约束，与量子力学给出的预测相比，你得到这个图:
也就是说，在探测器之间的每一个角度，除了0,90,180,270度，量子力学预测了比贝尔局部性和贝尔实在性约束允许的更多的相关性。
所以，为了得到符合量子力学的结果，你必须至少违反贝尔条件中的一个。这就是贝尔定理。
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当这一发现被发现时，一系列的实验人员聚集在一起，想知道在量子力学中这种精确的情况是否曾经被测试过。因为贝尔刚刚证明了局部现实理论不能重现量子力学的预言，更大的问题是:局部现实理论能描述现实吗?他们查阅了文献，得出结论说实验尚未完成。
1969年，克劳瑟、霍恩、西蒙和霍尔特第一个提出实验来测试违反贝尔条件的情况，很快就有其他人继续改进。Aspect和Zeilinger可能是近年来最著名的工作者。
随着实验的继续，很明显，在实验过程中有几个漏洞，可以解释贝尔的条件没有涵盖的相关关系。关闭这些漏洞的过程现在已经基本完成(2016年)，所以不值得继续下去。唯一剩下的就是“超级决定”漏洞，即使在原则上，这个漏洞也不是完全可以堵住的
最后，我将回顾一下量子力学的每种解释是如何违反贝尔条件的。
许多世界/埃弗雷特:这违反了贝尔现实主义。概率分布在Bell的框架中甚至不能脱离地面当你有分裂的世界。所以贝尔认为这是不现实的。然而，它的优势在于它是一个完全局部的理论。
de broglia - bohm /导频波:这违反了贝尔局部性，并且通过使导频波被远处的变化瞬时影响而明确地做到了这一点。贝尔自己发现他的定理极大地推动了他对德·布罗里-波姆的信任，因为它表明该理论的非定域性不是缺点，而是必要条件。
动态崩溃理论(吉拉第-里米-韦伯):这违反了贝尔的局部性。坍塌可由远处的测量仪器引起。
哥本哈根:这个解释需要自己的解释。但正如玻尔最初用他的超哲学方式描述的那样，它违反了贝尔现实主义，玻尔只是拒绝为状态分配明确定义的概率。
量子贝叶斯主义:又一个难题，因为我不是很了解它。但我认为它违反了贝尔现实主义因为它拒绝为状态分配概率(使用主观信念程度)
这不是问题。如果你钻了“超级决心”这个漏洞，你就放弃了科学。乐意在评论或其他地方解释为什么这不是一个合理的选择。
