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在一个站在地球表面的物体和另一个在远离引力场无限远的地方以g加速的物体之间会有时间膨胀吗?

编辑:网友投稿来源:互联网整理更新时间:2020-08-11 09:08:33

是的,在这种情况下,两个观察者在比较他们的时钟速率时会测量出差异,因为等效原理不会限制对遥远事件的比较。等效原理是关于局部测量和局部观察的物理定律。然而,广义相对论确实为两种时钟的比较提供了一个清晰的预测。

在这种情况下,一个经历线性加速度的观察者会改变速度,所以洛伦兹膨胀系数也会改变,这意味着他们的时钟速率会变得不同;事实上,这种差异会随着时间呈二次增长!

我们可以通过施加一个纯切向和恒定的适当加速度[数学]a[/数学]来避免这种情况,这样观察者在一个半径[数学]r[/数学]的“强迫轨道”中以恒定速度移动(因此恒定的洛伦兹因子[数学]\gamma = (1-v^2/c^2)^{-1/2}[/数学])。观察者感到一个向外的加速度[数学]a = v^2/r - GM/r^2[/math](忽略[数学]v\ll c[/math]时的[数学]\gamma^2[/math]因素)。这需要[数学]v^2 = ar + GM/r = ar + gR^2/r \ll c^2[/数学],所以洛伦兹膨胀取决于半径[数学]r[/数学],也取决于观察者本身的[数学]a[/数学]。但由于它在时间上是恒定的,我们可能想知道在一个特殊的半径上,循环加速和地球表面的时间膨胀是否可能是相等的。

我们可以在地球的近似史瓦西度规中计算这个:在运动平面中,每个观察者的固有时满足

[数学]c ^ 2 d \τ^ 2 = \大(1 - \ dfrac通用{2}{rc ^ 2} \大)\,c ^ 2 dt ^ 2 - \大(1 - \ dfrac通用{2}{rc ^ 2} \大)^ {1}^ 2 - r ^ 2 d博士\θ^ 2 *{}\标签。[/数学]

也就是说,加速和行星生活的观测者的时钟测量小固有时[数学]d\tau[/数学],这取决于它们的速度和由坐标[数学](t, r, \theta, \phi)[/数学]指定的位置。在这些坐标中,[数学]t[/数学]是一个很远的观察者的固有时,它相对于行星的质量是静止的;我们将使用[数学]t[/数学]来标记每个观察者的观察结果,这样他们就可以比较他们的固有时间,例如使用光束同步。

对于地球表面的观测者,我们可以使用[math]r = r [/math]和[math]g \的极值约GM/ r ^2[/math]来包括离心/旋转效应(因为海平面是一个等势表面)。然后地球观察者有[数学]dr = 0 = d\theta[/数学],也有时间膨胀的平方

大(\[数学]\ dfrac {d \ tau_E} {dt} \大)^ 2 = 1 - \ dfrac通用{2}{Rc ^ 2} = 1 - \ dfrac {2 gR} {c ^ 2} \大约\大(1 - \ dfrac {gR} {c ^ 2} \大)^ 2 *{}\标签。[/数学]

为了代数的简单性(它不会改变任何结论),我们可以假设[math]r[/math]足够小,速度保持非相对论性,我们可以在[math]gr/c^2 \sim v^2/c^2 \sim 7\乘以10^{-10}r/ r[/math]的二次项。

从地球中心出发,在半径[数学]r[/数学]处的圆周加速观测者,通过保持半径不变,使[数学]v^2 = r^2(d\theta/dt)^2 = ar + gR^2/r[/math],可以感受到相同的适当加速度[数学]A = g[/数学](虽然在从地球向外的方向),因此

{对齐*}\[数学]\开始大(\ dfrac {d \ tau_c} {dt} \大)^ 2 & = 1 - \ dfrac通用{2}{rc ^ 2} - \ dfrac {v ^ 2} {c ^ 2} = 1 - \ dfrac {2 gR ^ 2} {rc ^ 2} - \大(\ dfrac {ar} {c ^ 2} + \ dfrac {gR ^ 2} {rc ^ 2} \大)\ \ & \大约\大(1 - \ dfrac {gR ^ 2} {rc ^ 2} - \ dfrac {ar + gR ^ 2 / r} {2 c ^ 2} \大)^ 2。\{对齐*}\结束标记*{}[/数学]

当然,如果我们通过设置[math]r = r [/math]和[math]a = -g[/math](向下)来检查我们的工作,这个公式简化为地球观测者的。但是对于[math]r > r [/math]和[math]a =+g[/math],会存在时间膨胀差异

[数学]\开始{对齐*}\ dfrac {d \ tau_c} {d \ tau_E} & \大约1 + \ dfrac {gR} {c ^ 2} - \ dfrac {gR ^ 2} {rc ^ 2} - \ dfrac {gR + gR ^ 2 / r} {2 c ^ 2} \ \ & = 1 + \ dfrac {gR} {c ^ 2} - \ dfrac {3 gR ^ 2} {2 rc ^ 2} - \ dfrac {gR} {2 c ^ 2} < 1。\{对齐*}\结束标记*{}[/数学]

因此,在所有半径值下,地球表面的观测者和绕地球强迫轨道上的观测者之间存在一个时间膨胀差,产生一个向外的适当加速度。类似地,一个观察者以1[数学]g[/数学]适当加速度从地球加速离开,当速度随时间线性增加时,时间膨胀会像[数学]t^2[/数学]一样增加,这将很快超过地球观察者的时间膨胀。
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