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一个图形的拉普拉斯特征向量和特征值的意义的直观解释是什么?

编辑:网友投稿来源:互联网整理更新时间:2020-08-04 08:47:33

拉普拉斯方程的特征向量告诉你驻波或振动模式是什么样子的,特征值告诉你它们振动的频率。

一个图形的拉普拉斯特征向量和特征值的意义的直观解释是什么?

记住光波,声波,以及振动弦得到的波都是波动方程的解,我写下来

∂u∂2 t =Δu

你描述波的高度在一个给定的点和时间和拉普拉斯算子是Δ

Δ=∂2∂x21 +……+∂2∂x2n。

拉普拉斯算子测量了一个函数在某一点上的值与在该点上的小球体上的函数值的平均值有多大的不同。事实证明,一个图的拉普拉斯算子做了一些完全类似的事情:也就是说,它度量了图上的一个函数在某个顶点上与该函数在该顶点的邻居上的平均值的差异有多大。

这使得在一个图形上建立一个“波动方程”成为可能,它看起来与上面的完全一样(现在u是图形顶点集合上的一个函数加上一个时间变量)。例如,如果你写下一系列近似于实线的图形,那么你就会得到一系列“离散波动方程”,它们的解近似于实线上波动方程的解。(你可以通过实际计算路径图的拉普拉斯矩阵的特征向量和特征值来验证这一点)

有限图上的波动方程很容易解:如果拉普拉斯方程有特征向量vi和特征值为i,那么所有的解都是驻波解的线性组合

e t u (x) =λ我√tvi (x)

这些波的形状是由vi决定的振动频率是由我决定的!(拉普拉斯行列式的特征值总是非负的,因此,本征i - -√将是纯虚数。如果你不熟悉复指数,可以看看欧拉公式)

你可以看到圆盘上驻波的一些很好的可视化:圆膜的振动
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