理解薛定谔波动方程最简单的方法是什么?什么是波函数和波方程它告诉了我们什么?

时间:2020-07-14 09:11:15   作者:
作为回答,请允许我提供薛定谔方程最简单的现代“推导”。

你知道哈密顿量是多少吗?不要紧。对于我们的目的,它实际上就是系统的能量,但是由于传统的原因,它用H表示。

所以系统的能量是它的动能和势能的和。对于质量为m的粒子,位置为q(同样,由于传统原因,字母q被使用)动量为p,这意味着

H = p22m + V (q),



H−p22m−V (q) = 0。

现在让我做一些邪恶和方程乘以数量的复数ψ= ei (p⋅−Ht) /ℏ(t是时间和ℏ只是一个常数)。我为什么选择这个量,很快就会明白,但是现在,我们唯一需要知道的是这个量是一个单位复数,所以它不为零。因此,方程的意义不变,它的解与原来完全相同:

[H−p22m−V (q)] ei (p⋅−Ht) /ℏ= 0。

但现在请注意以下两个等式:

pψ=−我ℏ∂ψ∂q =−我ℏ∇ψ



Hψ=我ℏ∂ψ∂t。

这意味着我可以重写我的方程如下:

[我ℏ∂∂t +ℏ22 m∇2−V (q)] ei (p⋅−Ht) /ℏ= 0,



我ℏ∂ψ∂t =(−ℏ22 m∇2 + V (q)]ψ。

等等,但这看起来就像薛定谔方程!嗯,看起来…但现在还不是时候。别忘了ψ= ei (p⋅−Ht) /ℏ,这是经典物理学在伪装。

但是,如果我用不同的方法来解这个方程然后用不同的方法来解这个方程,我注意到这个方程是齐次的。这意味着对于任意两个解,即,它们的线性组合,即,和,都是任意常系数的解。

但很少有例外,αψ1 +βψ2不能写在形式ei (p⋅−Ht) /ℏ。这些“混合”解不能描述经典物理学。

当我们承认,尽管如此,这些混合的解决方案描述了有效的物理,一个物理系统的实际状态,量子物理学就开始了。

基于历史原因,我们称它为“波函数”,但我更愿意称它为“状态函数”因为它确实是这样的:它比经典变量q和p更概括地描述了系统的状态。
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