用外行人的话来说，哈密顿力学和拉格朗日力学之间的联系是什么？

非常粗略地：拉格朗日力学引出了二阶微分方程，它可以通过知道未知函数在起始点和终点的值来正式地求解。简而言之，如果你知道炮弹从哪里开始，到哪里结束，拉格朗日力学可以让你计算它的轨迹。

哈密顿力学导致了两倍多的一阶微分方程，这些方程可以通过只知道初始点上未知函数的值来正式求解。简而言之，如果你知道炮弹在初始时刻的位置和动量（或速度），你就可以计算和预测它的轨迹。

拉格朗日方程和哈密顿方程之间的关系是由所谓的勒让德变换给出的。勒让德变换是函数与其切线族之间的映射。不是将函数描述为一个自变量的函数，产生因变量，转换后的函数产生每个给定斜率（切线）的截距值。如果原函数是凸函数，它可以完全由勒让德变换重构，勒让德变换是它自身的逆。

哈密顿力学也被用作规范量子化的基础，通过形式规则的应用，这些规则被用来用量子力学算子代替经典的可观测。

能量守恒是拉格朗日时间平移对称性的结果。更一般地说，拉格朗日的任何对称都会产生守恒定律：例如，空间平移对称会产生动量变换，而空间旋转对称会产生角动量守恒。（有关对称性和守恒定律的一般定理是诺特定理，以其发现者——20世纪初的数学家埃米·诺特的名字命名。）