我很不喜欢把狄拉克函数描述为“除了在一点上是零的函数，在一点上它是无限的。”如果你求助于超实数(即加上无穷小的实数)，你几乎可以理解这个定义，但它是一个非常混乱的解，因为它在很大程度上取决于你选择的无穷小。
有一种更简洁的方法是数学家们喜欢的，那就是不把狄拉克函数看作是在实数线上的函数。相反，我们简单地定义了变量(f)=f(0)。也就是说，它是一个关于测试函数的函数—您向它提供一个测试函数，它就会简单地输出0处的值。
我更深入地解释了如何像这样定义狄拉克函数以及如何使它与传统方法相一致在我的回答中狄拉克函数真的是一个函数吗?不过,我会总结一下这种方式:你可以把一个家庭的高斯分布K N集中在越来越接近x = 0 N→∞,和一个可以检查任何合适的测试函数f(见的精确描述的链接我所说的“测试函数”)
与此同时，它看起来确实有点像这些函数KN可能会接近某种函数，除了在x=0处，它在任何地方都是零，在那里它是无穷大的——因此，我们恢复了工程师/物理学家的方法来解决这个问题。
结果是，一般来说，当你给定一个函数F比如测试函数上的狄拉克函数(这被称为缓变分布)在实线上总有一系列平滑的函数KN对于任何测试函数F，
因此，我们有必要将最初只定义在实线上的光滑函数上的各种运算扩展到所有的缓增广义函数上。在之前的答案中，我演示了如何求导。现在，我将展示如何做拉普拉斯变换。
回想一下，拉普拉斯变换取一个测试函数g (t)然后返回一个函数
拉普拉斯变换返回的函数不是在实线上定义的，而是在复平面上定义的。这意味着射线[0，∞)上的缓增分布(即在[0，∞上作为输入测试函数的函数)的拉普拉斯变换将在复平面上返回一个缓增分布。它将接受复平面上的输入测试函数。这只是一个小小的不便，我们不必太担心。
现在我们以标准的方式继续:我们首先假设我们正在查看表单的分布
对于某个平滑的、快速衰减的函数K(x)(这里，f(x)是关于[0，∞)的测试函数。然后，我们考虑变换
这就是分布F的拉普拉斯变换。我们的目标是重新排列它，以完全删除对L(K)的引用——这将允许一个自然的定义，即使不是这种特殊形式的转换。现在,考虑:
如果我们定义
然后我们可以写
然而，最后这个表达完全没有提到K。这意味着我们现在可以自由地定义
(L (F)) (F) = F (G (F)),
对于任何缓增广义函数。特别是,
与其他答案一致。
附录:在这个答案中，我对规则玩得又快又松——我从来没有检查过任何东西是否收敛，我也从来没有证明过可以用我所做的方式重新安排限制。
尽管如此，它在道德上是正确的，具有一些功能分析知识的人应该能够理解并准确地解释我遗漏的内容。我认为这是一个可以接受的妥协。
