一个量是张量的条件是什么?它和向量有什么不同?

时间:2020-06-17 09:13:04   作者:
就张量的定义而言,非正式的方式来思考张产品是考虑下令对基向量的向量空间的任何任意选择基地的张量积,和治疗这些对作为一个新的向量空间的基础即张量积的两个原来的向量空间。“张量”,在物理学中通常被称为,仅仅是向量空间的多个副本及其二重张量积的元素。

一个量是否是张量的问题在物理学中是一个主要的问题,就像数学中的张量通常是由构造而来的一样。(好吧,也许微分几何会例外)因此,当一个量被说成是张量时,就意味着定义对基的选择不敏感。说明这一点的最好方法是在教科书中给出一个非张量的例子——克里斯托费尔符号。

在我们继续之前请注意。严格地说,从现在开始当我说张量(向量)时,我指的是某个流形上的张量(向量)场。这并没有太大的飞跃,因为张量(向量)场只是张量(向量),而流形上的实值函数只是标量,而不是实数*。

假设我们继续并试图解释克里斯托费尔符号以张量ΓλμνXλ⊗ωμ⊗ωνX{σ}基向量和ω{σ}形式的双重基础。利用克里斯托费尔符号的定义,我们有

ΓλμνXλ⊗ωμ⊗ων=∇XμXν⊗ωμ⊗ων

现在,如果我们得到的确实是一个张量,我在什么基底上工作都不重要。换句话说,如果有另一个(待发)相关的基础上面通过可逆线性变换T,因此X′μ= T (Xμ)= TσμXμω′μ= (Tt)−1(ωμ)= (T−1)μσωσ,我们应该有以下的关系,我将标签(1)。

Γ′λμνX′λ⊗ω′μ⊗ω′ν=ΓλμνXλ⊗ωμ⊗ων

然而,由于T不等式是流形上的实值函数,而不仅仅是实数

∇X′μX′ν⊗ω′μ⊗ω′ν=∇XμXν⊗ωμ⊗ων

+ (T−1)νρXμ(Tσν)Xσ⊗ωμ⊗ωρ

式中,X校核(T校核)为实值函数T校核沿向量X校核方向的导数。

因此,(1)不能保持由于最后一项的存在,因此,克里斯托费尔符号不是张式的。

至于电流的问题,为了便于讨论,让我们用纯粹非相对论的术语来讨论。时间被视为另一个维度的事实总是可以在以后进行处理。因此,如果电荷被限制在n维的流形上移动,电流最好定义为(n−1)形式(an (n−1)形式是对偶空间n−1个副本形成的完全反对称协变张量)。换句话说,它是一个完全反对称线性映射它取n - 1个向量到一个实数。其思想是,n - 1个向量决定了n维流形中的一个表面元,电流吸收了所有这些元素,并给出了在单位(固有)时间内通过该元素的电荷数。它是反对称的事实仅仅反映了这样一个事实:如果输入的n - 1向量中的任何两个是相同的,那么表面元素就塌陷,没有电荷流过。特别地,0 -形式只是一个标量(它不需要向量来返回实数),因此导线(即1维流形)的电流是一个标量。

*实际上,这里有一个很大的警告。由于非零恒等的实值函数可能在某一点消失,所以对于非零标量逆并不总是存在。因此,得到的线性结构实际上是一个模块,而不是一个向量空间,但这个问题并没有困扰这里概述的论证,就上面的答案而言,可以忽略不计。
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