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简单地说,什么是张量,它们与标量和向量有什么关系?

编辑:网友投稿来源:互联网整理更新时间:2020-05-31 09:35:17

要理解张量,首先理解协向量是很重要的。为了理解协向量,重要的是放弃向量就是一列数字的概念。就我个人而言,这种误导的、错误的向量“定义”在很长一段时间里阻碍了我对张量的理解。

矢量是一个箭头:它有方向和长度。如果你想用数字来表示,你需要一个坐标图。如果你的向量的长度,比如说,1米,那么如果你把你的坐标系从米转换到厘米,你的向量的长度就从1(米)变成了100(厘米)。因此,当单位向量的长度减少100倍时,测量向量长度的数字做相反的事情:它“反”——随单位向量的变化而变化。这就是为什么完全普通向量被称为逆变向量。

简单地说,什么是张量,它们与标量和向量有什么关系?

还有协变向量。这里有一个例子:假设你正在测量地球表面的温度,并计算温度梯度:在地图上的每一点上的一个向量状的量,指向该点上最陡峭的温度上升的方向,它的大小以每米厘米的度数来测量。现在,如果你把长度单位从米换成厘米,温度梯度的数值也会减小,比如,1摄氏度/米变成了0。01摄氏度/厘米。所以它“co”-随着单位向量大小的变化而变化。这些量叫做协变向量。

当我取一个逆变向量和一个协变向量的标量积时,我得到一个标量。例如,取地图上的另一个向量场:风速图(以m/s为单位)。我可以形成这个向量场和温度梯度向量场的标量积(不管我为什么这么做,真的没有什么好的理由,让我们做一下数学计算)。问题是,这个乘积的单位是m/s乘以C/m,也就是C/s。注意长度单位是如何不再存在的。这个产品不依赖于坐标单位在我的地图上的选择。这是一个标量场。

现在你明白了协向量的作用了吗?把它乘以一个向量,就得到一个标量。它是说一个协向量场把一个向量场映射到一个标量场。

简单地说,什么是张量,它们与标量和向量有什么关系?

如果不是一个向量场而是两个向量场呢?比如,一个风速矢量场和另一个海流矢量场(同样是速度场)。如果我想同时将两个向量场映射到一个标量场呢?对于这个,一个单独的协向量场是不够的。当然,我可以有两个协向量场,但事实证明,这只是更一般的情况的一个特例:一个2阶协变张量场。

秩2张量场可以用矩阵来表示,但这常常增加了混淆。为什么?如果我们想与符号一致,在给定的坐标系中与逆变向量相关的数值可以用一列数字表示。协变向量的数值是一排数字。事实上,你可以用矩阵乘法的标准规则将一个列向量与一个行向量相乘得到一个数字(标量)。

但是矩阵是行和列的组合。所以它真的不是协变张量的一个很好的表示,它必须是一排的行,而不是一排的列(或一列的行)矩阵。只有一行可以乘成两列数字并得到一个标量。

简单地说,什么是张量,它们与标量和向量有什么关系?

这就是为什么定义张量是有好处的,不是看它们在表示法中是如何出现的,而是看它们做了什么:就像一个协向量把向量映射成标量一样,一个2阶协变张量把一对向量映射成标量。一个秩3协变张量将向量的三元组映射成标量。混合张量将逆变向量和协变向量的组合映射成标量。在这种情况下,一个协向量就是一个秩1协变张量;一个逆变(即。向量是一个秩1反变张量;标量就是一个秩为0的张量。

好吧,我又犯了一个错误,我认为在短短的几段话里,我就可以很好地描述整个教科书的主题。我不能。但是我希望我上面所写的仍然是有启发性的,而不是令人困惑的。
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