术语张量很少被提及,那么什么是张量,它们在物理中是如何使用的?

时间:2020-05-29 09:20:24   作者:
大学一年级的时候,我曾经问我的物理教授张量是什么。他向后一靠,停顿了一下,我相信他认为这是一个戏剧性的时刻,他说:“张量是你除以两个向量得到的。”

在那之前,我不知道张量是什么。在那之后,我仍然不知道张量是什么,但我知道这个家伙是个白痴。

在那之前,我总是得到这样的答案:“它就像一个矩阵[含糊不清]组件以正确的方式转换[含糊不清]…”我最终找到了一个对我来说有意义的答案。这是关于多线性映射的答案,就像其他人在这个帖子里说的那样。

如果这个答案没有为您“做”,那么这里有另一个简单的答案。没有多线性映射,没有时空曲率,等等。

想象一块立方体口香糖,边缘平行于x轴、y轴和z轴。假设你把口香糖按z方向挤压。它肯定会朝着这个方向收缩。但是它也会在x和y方向上展开。

更详细地说,您将得到一维输入(“在某个方向上进行压缩”)和三维输出(“在压缩的维度上进行压缩,在其他维度上进行扩展”)。

此外,你可以假设,口香糖挤压现象有一定的线性。也就是说,如果我知道了口香糖在x轴,y轴和z轴上的运动,我也可以知道在斜轴上运动时口香糖的运动。如何?通过把斜面分解成坐标分量,然后沿着每个坐标分量求和。

这是“真实”张量现象的典型代表。(所谓“真”,我指的不是标量,也不是向量,尽管标量和向量在技术上可以被认为是张量。)一般来说,当然,并不是总有一维的输入和三维的输出。你可以有n维的输入和m维的输出。但是线性很重要,这是张量的一部分。

很多人(包括我自己)第一次听到“张量”这个词是在广义相对论的背景下,或许是在时空曲率的背景下。这里有一个关于张量的类似解释。事实上,它并不像人们想象的那么奇特。事实上,暂时忘掉相对论,把自己放在牛顿的思维模式中:时空是平的,有一种引力可以吸引任何两个有质量的物体,它沿着这两个物体定义的轴线运动。

假设在宇宙的某个地方有一个很重的质点。为了简单起见,我们假设它是这个讨论中唯一可感知的附近的引力源。现在假设在某处有一小团尘埃,它远离了质点,但仍在向质点吸引。让我们忽略尘埃粒子之间可能的引力相互作用,假设所有的尘埃都被吸引到质点上。

假设在某一时刻,尘埃以完美的球形结构开始。这一刻发生了什么?关于这幅图,我将描述两个有趣的事情。灰色的球代表尘埃云。质点没有显示出来,但被认为是在尘埃云的左边:

术语张量很少被提及,那么什么是张量,它们在物理中是如何使用的?

首先是潮汐力。换句话说,离质点更近的尘埃球部分比远端的尘埃球部分更容易被吸引。这使得球面在质点的方向上有轻微的拉伸或伸长;即。,从左到右拉伸。

其次,还有“挤压”的力量。这是一个类似的现象,但它与离轴差异有关,而不是近端/远端差异。更详细地说,我们的尘埃云的每一个点都被吸引到相同的质点上。这意味着离轴的点会感觉到轻微的倾斜力。这将“挤压”或“挤压”整个尘埃云。

最后,它有点像口香糖的例子,但是符号相反:这里你有两个维度的压缩(在垂直于云/质量轴的平面上),和一个维度的延伸(沿着云/质量轴)。但是,这是一个张量现象。

顺便说两句:

首先,注意在这幅图中有一个几何分量。根据云离点质量的距离,压缩/伸长的程度会改变,方向也会改变。

这就是所谓的张量场。就像一个矢量场把一个矢量和某个感兴趣的区域的每个点联系起来一样,一个张量场也和一个张量联系起来。如果我们小心一点,在单点作用的力共同定义了一个张量。所有这些力的集合——它们是如何变化的,以及当你移动时如何变化的——这是一个张量场。当上下文清楚时,有时就不会说“字段”这个词。所以他们只会讨论“度规张量”或者“曲率张量”,即使它们是张量场。

第二,我已经用我的尘埃云图描述了一种曲率张量,尽管它为什么被称为“曲率”还不清楚。如果你喜欢,想象一个类似的例子,但是在流动的河流表面有灰尘。当河流是直的时候,沙尘不会移动。但是,如果河流弯曲,那么类似的力量将发挥作用,使尘土变形。这可能会更好地激发术语。

在任何情况下,这实际上非常接近“时空曲率”的真正含义:它描述了一个无限小的尘埃球受到潮汐/挤压力的变形。爱因斯坦的天才之处在于,他在一定程度上重新解释了牛顿所说的将一种力转化为时空的动态组成部分的理论。

当然,这是否意味着牛顿引力可以用时空曲率来理解呢?它可以!如果你想要使牛顿物理学现代化,你当然可以把它放在一个广义相对论的范例里,来讨论时空曲率。但这种动力将是完全错误的。(在我看来,这有点像“蒸汽朋克”(steam punk):把一个旧的想法粗暴地塞进一个现代的场景中。但我离题了…)
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