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强制谐波振荡器与谐振频率有什么关系?

编辑:网友投稿来源:互联网整理更新时间:2020-05-26 10:22:03

我希望你们熟悉微分方程,因为这会让这个更简单。

谐振子就像弹簧上的质量。你把质量,让它来回(理想情况下没有摩擦,这就是永远的),弹簧施加的力F = - kx, F, F = ma或(ext) = m * d2x / dt ^ 2意味着我们有一个简单的二阶微分方程的商店(简单谐振子)。也就是d2x/dt^2 +(k/m) x = 0。它的解是Sin(wt)其中A是由边界条件决定的某个振幅,t是时间,w(0)是系统的“固有”频率,即√k/m。在驱动振荡器问题中,固有频率就像“魔法”一样。

强制谐波振荡器与谐振频率有什么关系?

现在,让你的系统“高兴地”自然地振荡,并以另一个频率驱动它(比如用某种东西以固定的速度敲打它)。解这个方程,我们得到一个新的二阶微分方程,d2x/dt^2 + w(0)^2 x = F(d)(t)其中F(d)是驱动力,它是时间的函数。驱动力可以简化,简化问题,通过使它成为一个频率可变的正弦力,w(f)(t)这个的解是复杂的(涉及到傅里叶分解)所以我们在这里就不深入了,但是一个有趣的结果是通过把驱动力代回解中并把振幅a作为w的函数来得到的。对于驱动系统,结果是一个像(w) ~ 1/(w(0)^2 -w(f)^2)^2这样的函数。我们很容易看到,如果w(f)接近w(0) A(w)会变得很“尖”并且趋于无穷。这在现实系统中是不可能的,因为总有一些阻尼(这是上面ODE中的一个额外因素,超出了这里的范围)。然而,这表明,如果驱动力接近系统的固有频率,那么就会产生共振,很快就会发生故障。

注意,弹簧上的质量是一个非常简单的系统。然而,即使是复杂的系统,例如桁架或产品外壳的结构,也会有一个自然频率。目标是执行一个复杂的模态分析,以确保有足够的阻尼在该频率或结构的固有频率是超出任何可能的驱动器的范围。

稳态系统解将在强迫频率处。当频率接近谐振频率时,稳态振幅较大。这被称为振幅的“Q上升”。共振频率是系统“想要”振荡的地方——如果你强迫它在那个频率上,那么所有的东西都被排列成最大振幅。
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