为什么爱因斯坦必须使用张量微积分来推导他的爱因斯坦场方程？

爱因斯坦的注意力集中在他认为的相对论原理的一般化上，他认为这是一种与狭义相对论相一致的引力理论。各种考虑,基于他自己的一些思想实验有关电梯,和一些有关看到里面一个洞是什么空的事,其他人根据狭义相对论似乎暗示物理会如何旋转框架,从“埃伦的悖论,强烈建议爱因斯坦一般不会出现欧几里得几何的观察家们在这样的框架。

由于这些早期的努力,爱因斯坦也意识到不变性在他所谓的广义坐标转换非常重要的推广相对论原理,和重力可能被视为拥有完全相同的地位是什么在经典力学中有时被称为“虚构的”力量,离心和科里奥利力是最出名的。如果他的想法是正确的，那么重力在某种意义上可能是坐标系选择的结果。同时他还记得马赫对牛顿力学的分析，这对他的思想产生了深远的影响。

在他的研究之初，爱因斯坦还不了解与非欧几里得几何有关的数学知识。他尝试了各种各样的想法，但都不太奏效。最后，他和他的老朋友马塞尔·格罗斯曼谈了谈，向他提出了关于非欧几里德几何的问题。格罗斯曼告诉爱因斯坦，黎曼在高维真实空间中写下了这样一个普遍的几何理论，这个理论在19世纪就已经完成了。格罗斯曼对黎曼几何略知一二，两人进行了卓有成效的讨论。

爱因斯坦开始了解黎曼所做的一切，当时他已经接受了闵可夫斯基关于狭义相对论“时空”公式的概念。

黎曼发明的用来表达他观点的语言就是所谓的张量微积分。

爱因斯坦已经知道这是正确的方向，一旦他掌握了黎曼实际在做的事情。爱因斯坦剩下的大部分工作是研究如何用黎曼的思想构建场方程，并在适当的极限下简化为牛顿引力，然后自动成为“一般坐标不变量”。另一大部分是理解物理含义，以及对理论的解释。在这样一个理论中能量和动量是什么?这些事情以前没有考虑过，没有在这样一个大的背景下考虑过。最终，爱因斯坦来到哥廷根，花了一个夏天的时间与他交谈，希尔伯特和其他数学家倾听并与他交流。特别是埃米·诺特，在阐明爱因斯坦提出的场方程的不变性方面发挥了关键作用，希尔伯特也利用作用原理，用物质构造了场方程。希尔伯特是第一个发表文章的人，比爱因斯坦的印刷版早了几天，但他从来没有宣称优先于爱因斯坦。

所以使用张量微积分的原因是爱因斯坦开始将引力视为一种几何现象，而张量微积分是表达高维非欧几里得几何思想的自然工具，真实流形的几何。