时空曲率是引力的物理表征还是数学表征？

物质现实和我们对它的描述是两种不同的东西(尽管人和我们的对话也是物质的……)。用数学来谈论物理现实，和不用数学来谈论物理现实，有一点不同，但区别不是那么基本。数学语言只是一种自然语言，在这种语言中，为了更好地处理某些类型的对话，某些特性被升级和专门化了。时空的曲率是一种物理现实，引力也是，但一旦我开始描述它，你得到的是像“曲率”，“时空”，“引力”这样的术语，它们是现实的表征。我可以用非正式的方式描述它们或者用一些数学方法。它们都是抽象概念，但这并不妨碍它们描述物理现实。

我认为“曲率”这个词有些误导人，尽管我不确定我能想出一个更好的术语来使用。在爱因斯坦的引力理论——广义相对论中所讨论的特殊曲率，在19世纪曾因其他原因而被研究过。空间中的一些表面可以在不拉伸或挤压的情况下变形。例如，一张扁平的纸可以被平铺，也可以被卷曲。高斯研究了在不拉伸或挤压表面的情况下，以这种方式使其变形而保持不变的表面性质。这些属性只依赖于沿表面的点之间的距离(保持相同)。其中一个被称为内在曲率，因为它是一种不受表面变化影响的曲率表面上的变化不影响沿表面测量的点之间的距离。

在广义相对论中，同样的观点也适用于时空。一个区别是，时空通常不被认为是在其他空间。当我们谈到空间中的曲面时，我们指的是有一个曲面，但也有一个嵌入其中的三维欧几里得空间。如果一个表面嵌在另一个空间，它也有所谓的“外在”曲率。当我卷曲这张纸时，它的外在曲率是非零的即使它的内在曲率保持不变(零)

在爱因斯坦之前，最好的引力理论是牛顿的引力理论，它对太阳系中的物体来说是一个很好的近似值。爱因斯坦的理论更好，但这两种理论在这种情况下接近相同。所以在某种意义上，爱因斯坦能够解释为什么牛顿的理论是好的。人们很长一段时间都被牛顿引力理论所困扰，在一定距离上存在瞬时作用。太阳只是吸引着地球，在这两者之间没有什么东西可以把这种影响从一个带到另一个。在爱因斯坦的理论中，有。在太阳周围的整个区域，时空是不同的，其影响通过两者之间的空间从一个地方传播到另一个地方。

广义相对论有很多微妙的影响，但有一个相对简单的影响在像太阳系这样的系统中是最主要的，那就是对时间的影响。如果你拿两个同步的(非常精确的)时钟，把一个放在比另一个高的地方，然后再把它们放在一起，高的那个会比低的那个显示更长的时间。

如果你知道狭义相对论，你就知道还有另一种对时钟的影响，一个在空间中高速移动的时钟会比一个没有这么快移动的时钟慢。为了避免使问题复杂化，假设在上述实验中，一个人永远不会把任何一个时钟移动得很快。

我刚才描述的重力对时间的影响已经通过许多方式得到了证实。一个相当直接的验证来自全球定位卫星系统(GPS)。这是预期的。当这个系统刚建立的时候，卫星上的时钟被发现比地面上的时钟显示的时间稍微多一些。现在，这种影响已经足够小，不会造成(例如)载人航天飞行方面的问题。但由于GPS是基于时间上的细微差别测量的，其效果是明显的。该系统通过调整卫星上的时钟给出的时间来补偿时间。

这种效应产生了引力，因为物体被吸引到运行时间相对较慢的地方。

时空的“曲率”有十个独立的量，但在太阳系中只有一个最重要。想象一下，我有一堆钟表，而不只是两个。想象一下，我把它们中的一个以外的全部放在一个以我为中心的球的表面上，均匀地分布在这个表面上，然后抓住最后一个。因为时钟处于不同的高度，更高或更低，它们显示的经过的时间与我手中的时钟显示的时间不同。我们取它们运行时间的平均值，然后与我持有的那个的运行时间进行比较。这就是我们要讨论的曲率。

我是一个质量，但质量不像行星那么大。广义相对论说，由于我的质量，我周围的钟的平均运行时间，会比我自己的钟的运行时间略高。这个效应与我们让时钟运行的时间成正比，也与我的质量成正比。我的引力场很小，所以不会有很大的影响。由于地球的重力场，球的顶部的时钟会稍微快一些，底部的时钟会稍微慢一些，但是这种影响被抵消了。由于我的质量的不同基本上是因为我的重力场使我自己的时钟慢下来相对于球上的那些。如果我从球里出来，我们把空气抽出来，球上时钟的平均流逝时间，就会变成和中间时钟的流逝时间一样。这种曲率就是0。有一个引力场，但不是在球内部产生的。重要的曲率在地球内部是非零的，因为引力场在那里产生。这个特殊的曲率与质量密度成正比。

在每一点上时钟速率的差异与那一点的重力势成正比。曲率是势的凹性的一种性质(用数学术语来说就是拉普拉斯式)。质量的密度与势的拉普拉斯比成正比。如果我们忽略所有其他的影响，这和牛顿的引力理论(用势而不是力来表示)是一样的。

在更强大的引力场中，比如靠近黑洞的引力场，或者在数十亿光年的宇宙尺度上，也有其他重要的效应。到目前为止，科学家们的观察似乎证实了广义相对论在这些情况下也是一个真正准确的理论。然而，这些都不是某种自由浮动的抽象概念。你必须更多地关注空间和时间，但广义相对论中的一切都归结为时间、距离和能量之间的关系，就像在不同的运动状态(包括动量、应力和质量)中观察到的那样。