埃米·诺特是如何发现对称性和守恒定律是相关的?

时间:2020-10-04 08:57:01   作者:
1918年7月23日在赛德大学举行的研讨会上,以一个定理的形式,显然报告了物理系统的每一个连续对称都有一定的守恒定律。例如,如果在一个孤立的粒子系统中的过程相对于时间的平移是不变的,那么在这样一个系统中能量守恒定律就成立了。

虽然我没有任何文件的证明,三天后,1918年7月26日,艾米没有(允许)礼堂哥廷根皇家科学学会的只是她的性别的基础,很可能这正是如此费力克斯·克莱茵交付时定理及其证明,现在携带艾美奖的名字,说社会的成员。

直到她逃离了纳粹德国在1933年我们逃避迫害的犹太学者,艾美奖举行了羞愧的低薪和哥廷根大学的地位低的位置,尽管显然由希尔伯特克莱因和真正的努力下,随着城市神话和传说,去了艾美奖蝙蝠,在她的支持下,一把锋利的评论他的大学的同事们说,(在我的文字里):

哥廷根大学并不是一个公共浴室——埃米·诺特的性别本身不应该阻止她担任私人浴室的职务

这样的评论部分是针对1908年大学采用的规则,根据该规则,个人的地位只能由一个人来担任。

在任何情况下。

非正式地,埃朗根大学的Paul Gordan(1837-1912)在他的圈子里被称为代数不变量之王,他从1860年代后期开始广泛研究代数不变量,并在伦纳德·欧拉、卡尔·高斯和拉格朗日等巨人的研究中有其历史根源。

在代数不变量的研究中,所谓的代数形式起着重要的作用,它的简单本质是两个或两个以上自变量上的任何有限次齐次多项式。例如,双二次形式在它的标准渲染可能看起来如下:

ax2+2bxy+cy2

其中x,y是自变量,数字a,b,c是一些常数在每个和中变量的幂和是相同的数,2。

三次二次形式,类似的三个自变量多项式,可以是:

ax2+2bxy+cy2+2dxz+2eyz+fz2

双三次形式,两个变量,三次,将是:

ax3+3bx2y+3cxy2+dy3

等等,你得到它的要点。

不管底层空间的维数是多少,这些自变量可以被线性地(并且连续地)变换,这意味着上述形式中相应的新的自变量将是旧变量的一些线性组合。几何上,这样的线性变换等于相应坐标轴的旋转和均匀的同伦性。

系数的新形式,当然,是不同的,但至关重要,这些系数的某些功能仍将不是绝对不变的,这是他们会保留原来的数值,或者他们将只是一个按比例缩小的版本的原始系数的比例因子将只取决于特定的转换。

可以证明,这种最简单的双二次形式的代数不变量,就是高中行列式b2−ac。然而,这里的问题是,即使是下一个最简单的形式也有其结构中更加复杂的不变量。例如,在1844年,Ferdinand Eisenstein(1823-1852)发现了该双三次元的不变量为3b2c2+6abcd−4b3d−4ac3−a2d2。

这应该给你一个概念不同的代数形式有不同的不变量族,有时可以相当多。计算上述代数形式的不变量的任务是Gordan所专注的。

1900年,埃米作为一名自由自在的学生进入了埃朗根大学,因为在那个时候,女性自然是不允许作为正式的全日制学生进入该大学的。

Paul Gordan给了他唯一的(女)学生Emmy Noether找到第三次双二次型代数不变量的完整集的任务——Emmy成功地完成了这个任务,手工计算了不少于331个上述不变量!

你看,在现代教科书引导学生走过的花园小径的光亮的正面后面,存在着丑陋、肮脏、混乱、使人麻木、累人的工作,令人惊讶的是,它们仍然完全不在公众视野之内。这种令人麻木的工作,没有新鲜有趣的基本理念,正是埃米最初所做的。另一方面,我们马上就会看到,这些是艾美后来成功的垫脚石。

1910年Paul Gordan从Erlangen大学辞职,一年后他在该大学的职位由Ernst S. Fischer(1875-1954)填补。通过费舍尔,一个更现代的数学家,艾美研究了抽象代数和连续群理论,因此,非常决定性地,被拉进了大卫·希尔伯特的轨道。

1915年,费利克斯·克莱因和大卫·希尔伯特让埃米从埃朗根搬到哥廷根,希望他们能为新人争取到一个只有头衔、很脆弱的职位——一份甚至没有固定工资的工作。唉,埃米动也不动。你还记得1908年的规则,男人说了算,希尔伯特的恶毒评论等等。

你可以想象,这些东西永远不会在真空中发展。

我们从哪里开始?

宇宙大爆炸。我们称之为地球的愚蠢行星形成了。恐龙来了又走。尼安德特人。Pithecanthropi。直立人。埃及的金字塔。欧几里得写下了不朽的《元素》。伽利略。牛顿在23岁的时候,就像掌握了手背一样掌握了上述的“元素”;发明了一种新的有生命和呼吸的几何学。Eff等于乘以am1乘以am2除以的平方。欧拉发明了以他的名字命名的角;研究函数的许多方面。莫扎特的音乐。帕格尼尼。爱因斯坦的1905年过去了。爱因斯坦的1915年又来了。

在那一年的六场讲座中,爱因斯坦在哥廷根大学向听众讲述了他的相对论引力理论,也就是广义相对论或GTR的故事。在观众中,我们看到的不是别人,正是大卫·希尔伯特,他对爱因斯坦的思想产生了兴趣。

踢的想法说,希尔伯特涉及到一个令人不安的神圣的神圣的物理实现,能量守恒定律的概念,现在必须看不同。

后来希尔伯特,数学家的口径,推导出的方程GTR的方式更优雅比爱因斯坦和希尔伯特的演绎让一些课本,包括那些作为学生早在1980年代我们称为nah-stohl-nah-ya kneeh-gah或桌子上的书,所有的书从课程理论物理的l·朗道和大肠谨言(由敬启)。

你看,牛顿引力和麦克斯韦电动力学把能量作为一个可测量的物理量定义在空间的任意时刻,或者用GTR的话说,在时空的任意时刻。

然而,在1915年,希尔伯特用这样的观点洞察了酝酿中的麻烦。

更准确地说,牛顿引力本身并不具有动力学,因为牛顿引力场中的变化只是或仅仅是产生该场的物体位移的结果。

麦克斯韦电动力学,另一方面,拥有自己的动力,因为在它携带或传递能量的波过程可能的理解约束下的总能量或净流基本电磁场通过任何边界的一个封闭区域的空间等于的变化率的总能量中包含空间的区域(体积)说。

正如希尔伯特很快意识到的那样,爱因斯坦的引力理论与Netwonian的引力理论有很大的不同,因为它与麦克斯韦的电动力学理论相似,也有自己的动力学理论,但是那个动力学要复杂得多。

纯数学上,GTR的方程可以在各种参考系中脚本化,并且在这些参考系之间可以进行连续线性变换。多亏了这样的转变,在任意任意选择的(时空)点及其无穷小的邻域上的引力场的大小都有可能归零。

但如果我们把一个观测者放在这样一个点上,观测者将无法探测到任何重力!

因此,由于数学上的不可避免性,GTR中唯一或明确的能量定位在原则上是不可能的——这种不可能不能被迅速地或用数学方法消除。

因此,希尔伯特1915年议程的首要问题是如何处理物理学的神圣之圣,即能量守恒定律。

因此,埃米·诺特上台了,她被希尔伯特邀请去调查那个具体的问题和……

希尔伯特和克莱因的选择并不是随机的——希尔伯特和克莱因都非常清楚埃米之前研究代数不变量的事实。然而,新的挑战要求微分不变量的工作,因为这是物理量守恒定律的语言。

再一次,艾美奖不仅做到了,而且做得过头了。虽然很难确定艾米什么时候开始认真完成希尔伯特的任务,但她似乎是在1915年的秋天卷起袖子开始了。未完成的三年后,在1918年7月23日,她的定理准备供公众使用。

不变性的概念以各种形式渗透在数学中。4个连续整数的和不可能是完全平方的,它应该甚至可以依赖于我们所称的数字所呈现的特定的数字底数,这种想法对任何数学家来说都是可笑的。数字理论研究的是这些称为数字的抽象实体的性质,这些实体相对于称为基的局部环境的细节保持不变。以2为底、以7为底或以13为底不应该进入数字基本性质的数学领域。

同样,在物理学中,不变性的概念也有不同的形式。以我们最喜欢的高中第二定律约翰·开普勒(1571-1630)为例:当该矢量的原点位于太阳所在位置时,行星的半径矢量在相等的时间内扫过的面积也相等。请注意,行星的轨道速度始终是一个可变量!

艾美奖的定理,这些守恒量的存在是直接连接到某些连续对称性的基本物理大小决定了动态或底层系统的行为。

相反地,松散地说,如果存在某种(连续的)对称性,那么就存在某种守恒定律。

我们之前提到的基本物理量叫做作用量,它基本上是一个泛函的多维积分,也就是拉格朗日。

你可以看到的拉格朗日行动,双关语在Quora篇名为全世界Ln天(见方程23)。

现在,那些有勇气和耐心阅读我所要讲的内容的读者们知道,在所有的人当中,我是第一个跳入数学底层的人。我可能会用一些枕边谈话来稀释说的跳跃,但事实是不变的——没有数学的物理不是物理,没有数学的数学不是数学。哒。

然而,这里并没有围绕这样一个事实:艾美定理的数学太复杂、太美了,不可能在一个Quora答案中把它搞得半途而废。

同样地,用高中的术语来说:关于一个特定的变换或整个一族或一类变换的不变性被称为对称。埃米·诺特试图在她的作品中回答的问题是:如果动作具有这种或那种对称性,那么结果会是什么?

换句话说,Emmy对这种数学运算的结果很感兴趣,一方面计算动作,另一方面保持动作的数值不变。更严格地说,我们要声明的是,上述行为的价值虽不完整,但变化不大,当然,书本上有“不太多”的精确数学定义。

艾美奖试图用最普遍的形式来回答上面的问题,但有一个限制。对称的变换有两种形式,连续的和离散的。例如,任意角度的旋转和沿坐标轴的平动都是连续的对称性。一个圆在它的父平面上围绕它的中心旋转任意角度的量都将被带回到圆内。

离散对称只允许有限的或可数的变化——一个围绕其在父平面上的中心旋转的正方形,只有在旋转了一个精确的倍数的半径(如:2弧度)后,才会回到原来的正方形。

这两种对称都是群体理论的病人。

离散对称是由群理论的分支处理的,其中元素的数目是有限的。

连续对称是由群理论的一个分支来处理的,该理论研究具有无限元素的特定类型的群,也被称为李群,是以挪威数学家Sophus Lie(1842-1899)的名字命名的。

在她的工作中,艾美研究了守恒定律和连续对称性之间的联系。这就是为什么我们在整个答案中使用连续这个词,这也是为什么埃米使用李群的数学工具,顺便说一下,那个时代的大多数物理学家都没有意识到这一点。

另外,离散对称性可以产生某些守恒定律,但诺特定理在这种情况下不适用。

就我个人而言,我从来没有关注过它的内容质量,但显然Quora有自己的关于艾美奖定理的主题。

1919年5月21日,埃米终于被允许在哥廷根大学担任私人助理。那年的6月4日,她带着这个头衔发表了她的第一次演讲。同年秋天,埃米开始教她自己的课程。

然而。

造物者和造物者的轨道在那之后完全分开。

自1919年以来,艾美完全放弃了物理学,把她所有的时间都花在了抽象代数、代数几何和环理论上。光是这项工作就值得单独写一本书。

1933年科学部取消了艾美教学的权利,她从纳粹德国逃到了美国,在洛克菲勒基金会的帮助下,她在宾夕法尼亚州的布林莫尔学院任教。

1934年2月艾美每周都要去高级研究院做演讲但不是在普林斯顿大学因为在1934年,女性,在男人的无限智慧中,不允许成为学院的成员。

1935年4月14日,埃米去世了。

在其1928年的专著《群论与量子力学》中,赫尔曼·维尔(1885-1955)甚至没有费心提及艾美·诺特的名字,因为诺特的工作使我们得以建立起从经典力学到量子力学的桥梁。

希尔伯特和库兰特在1924年出版的《数学物理方法》一书中对埃米的工作进行了详尽的叙述。

回顾埃米·诺特的麻烦,人们会想,为什么还要费心呢?我想,在这个世界上,有些人只能做一件事,他们真的不关心其他任何事情。
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