数学家们是如何发现哪个公式是它自身的导数/积分的?这是故意的还是偶然的?

时间:2020-06-01 21:04:20   作者:
我想这一定是出于天生的好奇心。

我一直都是这么教的。

我总是喜欢在我的课上有一种“发现”的气氛,这是我最喜欢的之一。最初的数学家很可能也是这么做的。

我总能找到一些学生他们自己发现了这个神奇的数字“e”的存在,但是我一直在引导他们!

学生们在这个阶段只会有x的微分但是他们会完全熟悉从第一原理出发的微分。

这是我通常做的…

数学家们是如何发现哪个公式是它自身的导数/积分的?这是故意的还是偶然的?
通常的答案是“乘以乘方再减1”。

不管怎样,我们从基本原理开始,就像这样…

数学家们是如何发现哪个公式是它自身的导数/积分的?这是故意的还是偶然的?

现在唯一的问题是找到这个极限。

记住,17岁的学生不会遇到这样的事情。

当我们求导y = x^2时,他们只会熟悉一些简单的极限来消掉下面的“h”。



所以我通常会让h的值越来越小然后看看表达式是怎样的。

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这足以使任何人相信极限值大约是0.69

(注意,学生不可能知道这是ln(2)除非他们以后做过隐函数微分!)

第一个结果是。



实际上,我对0.69这个数字感到非常失望。

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现在我们重复这个过程…

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这次我要说的是,让我们找到这个极限的一个很好的近似。

如果h很小,比如0.001

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在这一点上,一些非常聪明的学生提出了这样的想法

“如果极限恰好是1,那不是很好吗?”

(如果他们这样做了,我绝对高兴!!)

如果没有,我就开始把这个想法放在他们的脑子里!

在这个阶段,“快速跟踪”这个过程更令人兴奋,因为所有的事情都依赖于极限趋近于1。

没有做上面所有的形式代数,我们只是用h = 0.0001来做

数学家们是如何发现哪个公式是它自身的导数/积分的?这是故意的还是偶然的?

我们找不到准确的数字但是我们可以找到更多的小数。

这是一个无理数(如π我们称之为e。

最后我们有。

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顺便说一下,我制作了一些非常短的视频,我相信这些视频对老师和学生都有很大的启发。

1. y的梯度是e^x

2013年6月15日1305指数图1.m4v

数学家们是如何发现哪个公式是它自身的导数/积分的?这是故意的还是偶然的?

2. y = b^x及其变化b值的梯度图

在这个例子中,我画出了y = b^x和它的梯度图,y' = b^x ln(b)然后我开始改变b的值。显然,当b = e时,两条曲线重合。
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