凝聚态物理中使用什么数学?

时间:2021-07-04 09:24:31   作者:
在凝聚态系统中,对称性发挥着突出的作用(正如它们在其他物理领域所做的那样,比如粒子物理)。现在,有离散对称(如奇偶对称)和连续对称(如二维旋转下的对称)。连续对称与连续群有关,它们在技术上被称为李群(Lie group)。首先,离散对称是研究人员关注的焦点,这是有道理的,因为凝聚态中几乎所有的东西都与离散晶格有关。几年后,人们开始应用量子场理论来研究凝聚态系统,因此对连续对称性的研究变得比以前更重要了。我想说的是群体理论对于几乎所有的凝聚态理论家和实验主义者来说都是必须的。

凝聚态物理中使用什么数学?

除了群论之外,在凝聚态中最常用的数学领域是傅里叶变换。这部分是因为有时在位置(或坐标)空间中工作太困难了,所以我们执行傅里叶变换到动量空间,在那里事情更容易处理。

拓扑学也是数学的一个领域,在许多凝聚态子领域都有应用。值得注意的是,它并没有在凝聚态物理的所有子领域中得到广泛的应用,但是在一些巨大的和相对新的课题中,拓扑扮演着不可或缺的角色,比如拓扑绝缘体。拓扑学在研究物质的不同相时非常有用;这是因为不同的阶段不能相互变形(你需要做一些非连续的事情来从一个阶段到另一个,反之亦然),因此拓扑很适合这种情况,因为它有助于对不同的阶段进行分类,这通常与拓扑不变量的使用是整数(你不能平滑地从一个整数值到另一个)。为了做到这一点,还需要用到微分几何。例如,微分几何可以在贝里相与物理相关的领域中找到。作为拓扑学的旁注,拓扑学场论在一些凝聚态系统中有广泛的应用,如Chern-Simons理论。

除此之外,由于统计物理在凝聚态系统的研究中得到了非常广泛的应用,我想说的是,从技术上讲,统计学是一个应用于凝聚态的数学领域。事实上,这包括平均值、相关器等。

当然,任何物理学家都应该知道的最基本的数学,线性代数和向量微积分,也适用于凝聚态物理,但我发现很难想出一个物理领域不使用它们。线性代数、向量微积分和傅里叶变换是本科物理基础课程的组成部分。
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