量子场论和广义相对论给出不同答案的最明显的例子是什么？

他们不会给出不同的答案。这两种理论之间的不兼容性意味着另一种完全不同的东西。

这就是我们可以做的：我们可以在广义相对论的弯曲背景下做量子场理论。数学计算可能很乏味，但应用程序是清晰的，甚至可以表明理论保持自洽，不需要预测因果行为（如超光速或时间反转信号）。

问题出在别处。物质是万有引力的源泉。具体来说，物质的能量含量是引力的来源。象征性地，没有迷失在细节，它的形式是一个方程G∝T,其中G表示引力（这将是引力场的爱因斯坦张量如果我想拼出来的细节）和T代表物质的还有（象征∝比例符号，指这两个量通过一个常数因子相互联系的。）

为什么这是个问题？因为当我们把物质理论从经典变为量子理论时，我们最终得到一个G∝T^形式的方程。注意到右边T上的那个小帽子了吗？它表明，物质的能量含量不再由数字来表示，而是由一个量子力学算符来表示。左边仍然是一个数字。我们问的是，一个橘子需要多少个苹果。这显然行不通。

然而，有一种简单的方法来修复这个问题：G∝T⟩。我刚才做了什么？我把右边的算子值换成了它的数值期望值。（把它看作是各种各样的平均值。）这被称为半经典引力，它适用于我们可以通过天文观测或实验室实验获得的任何状态。

然而，它通常不被看作是一个基本理论，而是一种近似。近似是什么？这是我们不知道的。