泡利不相容原理与自旋自由度有关。特别是它与相同粒子系统的性质有关。如果这些粒子具有整数自旋，由相同粒子组成的系统的量子波函数在空间上一定是对称的。这意味着对于单个粒子的位置没有任何限制它们可以占据空间中相同的位置。
对于自旋为半整数的粒子，任何相同粒子的组合都必须具有反对称波函数。这意味着两个相同的粒子不能占据空间中的同一点，因为波函数的反对称性意味着它们之间的波函数必须为零。这就是泡利不相容原理。
泡利不相容原理的证明并不容易。本科物理课程通常不教这个东西，这一证明实际上是相对论量子场论的胜利。
自旋是一种量子自由度，实际上只能从相对论量子理论中推导出来。它没有经典的类比。它与自旋电荷无关，而是与洛伦兹变换的对称性有关，洛伦兹变换包括了加速和旋转。因此泡利不相容原理的推导只可能在相对论量子场论中，其中量子多体波函数可以从真空中产生，这需要粒子产生算子。这是在自旋统计定理中完成的。
自旋统计定理最显著的结果之一是，结果实际上只取决于总自旋是整数（玻色子）还是半整数（费米子）。只有费米子遵循泡利不相容原理。我发现值得我们注意的是，更大的复合粒子可以是玻色子或费米子，仅仅根据它们的总自旋。这意味着不同的原子同位素可以表现出完全不同的行为，这就解释了用于制造玻色-爱因斯坦凝聚物的原子物种对同位素的依赖性。
