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粒子物理中如何使用抽象代数?

编辑:网友投稿来源:互联网整理更新时间:2021-01-19 08:55:12

抽象代数主要研究群、环、域、模、向量空间、格和代数等代数结构。

群论作为抽象代数的一个分支,在物理系统对称性的研究和解释中起着至关重要的作用。

一个特定物理系统的对称性通常具有数学群的性质。群可以是有限的,也可以是无限的,并且可以额外地分类为离散的或连续的。

在规范理论对粒子基本相互作用的描述中发现了群论的抽象和广义方面,规范理论以量子场拉格朗日函数的修正形式来表示相互作用。

基本粒子物理学的标准模型,描述了四种基本力的三个或自然世界的交互(电磁相互作用、弱相互作用和强相互作用),有一个类型的对称代理直接在时空表达一组转换称为庞加莱群。一个基本粒子的不同量子态产生了庞加莱群的不可约表示。

另一种作用于基本粒子电荷的对称称为规范对称,它通过Yang-Mills理论构造与与李群SU(3)、SU(2)和U(1)相关的李代数有关。

在理论、量子和粒子物理中使用的抽象代数结构的另一个例子是向量空间,特别是希尔伯特空间。

希尔伯特空间是一个具有内积的向量空间,内积的运算允许定义长度和角度。希尔伯特空间是完整的,这意味着空间中有足够的限制来允许微积分技术的使用。

简而言之,量子力学系统的状态是特定希尔伯特空间中的向量,可观测的是该空间上的厄米特算符,系统的对称性是幺正算符,测量是正交投影。

在量子力学的数学公式,可能状态(更准确地说,纯的状态)的量子力学系统由单位向量表示(称为状态向量)驻留在一个复杂的分离希尔伯特空间,称为状态空间,定义一个复数的规范1(相位因子)。可能的状态是希尔伯特空间投射中的点,通常称为复射影空间。希尔伯特空间的确切性质取决于系统。
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