薛定谔方程是最基本的物理原理,不能从其他任何东西中推导出来。所以我们不能严格地从任何基本原理中推导出来。
以下是一些关于这一点的引述:
“没有必要证明薛定谔方程的有效性。”
“我们从哪里得到这个等式的?没有。不可能从你所知道的任何东西中得到它。这是薛定谔的想法”
薛定谔根据德布罗意的物质波假设、经典平面波方程和能量守恒建立了他的方程。
他认为一个粒子在某个方向上自由运动(比如X正方向)
从平面波方程出发。
y=ae^i(kx-wt)+be^-i(kx-wt)的通解
因为粒子是正向运动的,所以我们认为粒子是正向的
对于量子力学,波函数
对应于波浪运动的波变量y
现在,根据普朗克定律,我们知道粒子的能量是离散的,能量取决于与之相关的波的频率。所以,同样来自德布罗意的物质波假说
因此:
现在求关于x的偏微分
关于t也是部分微分的
我们知道,从物质的能量守恒
因此我们得到
在三维中
与时间无关的薛定谔方程(也称为薛定谔方程的稳态形式)是
根据哈密顿力学,总能量算符被称为哈密顿算符
所以哈密顿形式的Schrondinger方程是: