为了数学上的清晰，我们把“x”和“y”分开如下:
x的y平方=y的x
或者,yln (x) = xln (y)
或者,lnxx−lnyy = 0
注意，这个方程是一个非线性方程，包含两个自变量“x”和“y”。你需要另一个方程来解这个方程，例如，x - y=0。
在没有另一个方程的情况下，我们可以放心地假设解集是实数和(或)复数的无限集合。
重读问题后，我发现OP实际上想要表达或解出“y”作为x的函数。
解将是无限的，y的解(或“表示”)用x表示为:
y = xln (x) W (xln (x))
其中W()是lambert W函数(乘积对数函数)。
对于每个x>0，至少有一个解y = x。
如果x = 1，方程变成
1 y = y₁
即。
y = 1
这是唯一的解。
看看x<>1是否有其他解，我们可以重写方程，取对数
ylog (x) = xlog (y)
或者，因为x≠1，所以log(x)≠0
日志(y) = x / y /日志(x)
我们要求的是f(x)=f(y)的解其中f(x)=x/log(x)
这个函数显然有两个“分支”，一个用于01。
如果0 < x < 1
f (x) < 0
当x趋于0时，f(x)趋于0
当x趋于1时，f(x)趋于-∞
f(x)是单调递减的。
为了证明最后一点，请注意df/dx=(log(x)−1)/log2(x)对于所有的0
这意味着，如果0因为f(y)>0如果y>1，也没有y>1使得f(y) = f(x)
因此，如果0
现在，如果x是> 1，情况就不一样了
当x趋于1或∞时f(x)趋于+∞。
f在x = e处有一个最小值。
再次看到，
df / dx =(日志(x)−1) / log2 (x)
当x = e时，导数完全消失，当x = e时，导数为正。
这意味着，当x = e时，f(x) = f(y)只有一个解，y = x，但是，如果x>1和x<>e，有两个解，其中一个是y = x。
一般来说，这是解(x,y)的图像
在评论中，人们问到如何明确地在y≠x的情况下寻找解。简单的答案是“数字上的”。选择任意一个x, 1 e来解这个方程
g(y)=y/log(y) - C=0，其中C=x/log(x)现在是一个常数。
不仅如此，我们知道dg/dy在整个区间内都是正的。所以，如果我们选择任意种子y0>e，假设y0=4，应用牛顿法，我们会很快收敛到解。
另一个有趣的问题是“x≠y的整数解是什么?”那理性解呢?”
对于整数，这很简单，因为我们知道其中一个数字需要在(1,e)中，并且在这个区间中只有一个整数，也就是2。因此，唯一的整数解是(2,4)[当然还有(4,2)]。
结果证明，理性的情况比我预想的要有趣得多!
假设数字是a/b和c/d, a,b,c,d > 0和{a,b}和{c,d} co-prime。
然后,我们有(a / b) (c / d) = (c / d) (a / b)
提高双方的bd
abc / bbc = cad /爸爸或abcdad = bbccad(我)
现在，我们假设
一个= pα11pα22…pαkk和b = qβ11qβ22…qβll
pi和qi都是素数。
而且，由于a和b是共素数，可以认为所有的qi和pj都是不同的。
然后，(I)的LHS包含所有的素数pi，因为因子abc，但是，在RHS中，因子bbc对这些素数没有贡献，所以它们都需要来自cad，因此，来自c本身。
相反，LHS上所有的气都需要来自d。因为c和d是共素数，所以没有一个qi可以除c，也没有一个pi可以除d，方程两边可能没有其他素数，因为这个素数必须除c和d。
这意味着(I)可以改写成
美国广播公司(abc) = cad (A1)
英国广播公司(bbc) =爸爸(A2)
现在，要么d=b，要么我们可以假设，不失一般性，d>b。
如果d=b，那么，通过A2, b=d=1，我们回到整数的情况，或者ad=bc，因此a=c，这与我们认为a/b≠c/d的假设相矛盾
因此，从现在开始，我们假设d是>b，因此，a是A2, ad
我们还知道c和a有相同的质因数d和b有相同的质因数，所以我们可以把它们写成
A2，如果我们看两边的气的指数，我们得到
这意味着所有的指数δi大于相应的βi,即b将d。类似地,将c。此外,我们可以重写B1吗
如果我们现在看看q_i的指数方程的两边,我们看到,在,至少δi严格大于γi。唯一的其他因素,有助于βi缺失的因素,这就意味着,每1和k之间的我,问(δi−γi)我将βi,即
让我们把它理解一下。βi秩序的日志(b),因为它们的指数b的质因数分解。这意味着,尽管d大于b, b的倍数,最多的博客(b)。
在这一点上，我确信我接近于得到一个contraditcion，或者至少是一个非常强的约束，它最多允许有足够的空间来容纳几个解。因为我不能很快地在一般情况下得到矛盾，我决定看一个特殊的情况，有k=l=1(分子只有一个素数，分母只有一个素数)，并使用我可以使用的最小素数，2和3。
因此，我在寻找这种形式的解。
在这一点上，我开始怀疑是否真的有无限多的理性的解决方案，但我决定这是足够好的来分享我的进展，也把它作为一个问题放在这里，同时我继续思考这个问题。
在这个答案中描述了所有的有理解:Amitabha Tripathi的答案是x^y = y^x有无穷多个有理解，其中x \neq y?
结果是，是的，有无穷多个有理解，它们就是对
(1 + 1 / n) n, (1 + 1 / n) (n + 1)
我描述的三个解是n= 1 n=2 n=8。上面的推理表明，有理解(x,y)趋向于y接近x，这也意味着x和y接近e。很高兴看到解是最著名的收敛到e的有理序列。