如何求解:x的y平方=y的x的平方?

时间:2022-09-16
除了1之外,还有一个值可以满足这个等式。

为了数学上的清晰,我们把“x”和“y”分开如下:

x的y平方=y的x

或者,yln (x) = xln (y)

或者,lnxx−lnyy = 0

注意,这个方程是一个非线性方程,包含两个自变量“x”和“y”。你需要另一个方程来解这个方程,例如,x - y=0。

在没有另一个方程的情况下,我们可以放心地假设解集是实数和(或)复数的无限集合。

重读问题后,我发现OP实际上想要表达或解出“y”作为x的函数。

解将是无限的,y的解(或“表示”)用x表示为:

y = xln (x) W (xln (x))

其中W()是lambert W函数(乘积对数函数)。

对于每个x>0,至少有一个解y = x。

如果x = 1,方程变成

1 y = y₁

即。

y = 1

这是唯一的解。

看看x<>1是否有其他解,我们可以重写方程,取对数

ylog (x) = xlog (y)

或者,因为x≠1,所以log(x)≠0

日志(y) = x / y /日志(x)

我们要求的是f(x)=f(y)的解其中f(x)=x/log(x)

这个函数显然有两个“分支”,一个用于01。

如果0 < x < 1

f (x) < 0

当x趋于0时,f(x)趋于0

当x趋于1时,f(x)趋于-∞

f(x)是单调递减的。

如何求解:x的y平方=y的x的平方?

为了证明最后一点,请注意df/dx=(log(x)−1)/log2(x)对于所有的0

这意味着,如果0因为f(y)>0如果y>1,也没有y>1使得f(y) = f(x)

因此,如果0

现在,如果x是> 1,情况就不一样了

如何求解:x的y平方=y的x的平方?

当x趋于1或∞时f(x)趋于+∞。

f在x = e处有一个最小值。

再次看到,

df / dx =(日志(x)−1) / log2 (x)

当x = e时,导数完全消失,当x = e时,导数为正。

这意味着,当x = e时,f(x) = f(y)只有一个解,y = x,但是,如果x>1和x<>e,有两个解,其中一个是y = x。

一般来说,这是解(x,y)的图像

如何求解:x的y平方=y的x的平方?

在评论中,人们问到如何明确地在y≠x的情况下寻找解。简单的答案是“数字上的”。选择任意一个x, 1 e来解这个方程

g(y)=y/log(y) - C=0,其中C=x/log(x)现在是一个常数。

不仅如此,我们知道dg/dy在整个区间内都是正的。所以,如果我们选择任意种子y0>e,假设y0=4,应用牛顿法,我们会很快收敛到解。

另一个有趣的问题是“x≠y的整数解是什么?”那理性解呢?”

对于整数,这很简单,因为我们知道其中一个数字需要在(1,e)中,并且在这个区间中只有一个整数,也就是2。因此,唯一的整数解是(2,4)[当然还有(4,2)]。

结果证明,理性的情况比我预想的要有趣得多!

假设数字是a/b和c/d, a,b,c,d > 0和{a,b}和{c,d} co-prime。

然后,我们有(a / b) (c / d) = (c / d) (a / b)

提高双方的bd

abc / bbc = cad /爸爸或abcdad = bbccad(我)

现在,我们假设

一个= pα11pα22…pαkk和b = qβ11qβ22…qβll

pi和qi都是素数。

而且,由于a和b是共素数,可以认为所有的qi和pj都是不同的。

然后,(I)的LHS包含所有的素数pi,因为因子abc,但是,在RHS中,因子bbc对这些素数没有贡献,所以它们都需要来自cad,因此,来自c本身。

相反,LHS上所有的气都需要来自d。因为c和d是共素数,所以没有一个qi可以除c,也没有一个pi可以除d,方程两边可能没有其他素数,因为这个素数必须除c和d。

这意味着(I)可以改写成

美国广播公司(abc) = cad (A1)

英国广播公司(bbc) =爸爸(A2)

现在,要么d=b,要么我们可以假设,不失一般性,d>b。

如果d=b,那么,通过A2, b=d=1,我们回到整数的情况,或者ad=bc,因此a=c,这与我们认为a/b≠c/d的假设相矛盾

因此,从现在开始,我们假设d是>b,因此,a是A2, ad

我们还知道c和a有相同的质因数d和b有相同的质因数,所以我们可以把它们写成

A2,如果我们看两边的气的指数,我们得到

这意味着所有的指数δi大于相应的βi,即b将d。类似地,将c。此外,我们可以重写B1吗

如果我们现在看看q_i的指数方程的两边,我们看到,在,至少δi严格大于γi。唯一的其他因素,有助于βi缺失的因素,这就意味着,每1和k之间的我,问(δi−γi)我将βi,即

让我们把它理解一下。βi秩序的日志(b),因为它们的指数b的质因数分解。这意味着,尽管d大于b, b的倍数,最多的博客(b)。

在这一点上,我确信我接近于得到一个contraditcion,或者至少是一个非常强的约束,它最多允许有足够的空间来容纳几个解。因为我不能很快地在一般情况下得到矛盾,我决定看一个特殊的情况,有k=l=1(分子只有一个素数,分母只有一个素数),并使用我可以使用的最小素数,2和3。

因此,我在寻找这种形式的解。

在这一点上,我开始怀疑是否真的有无限多的理性的解决方案,但我决定这是足够好的来分享我的进展,也把它作为一个问题放在这里,同时我继续思考这个问题。

在这个答案中描述了所有的有理解:Amitabha Tripathi的答案是x^y = y^x有无穷多个有理解,其中x \neq y?

结果是,是的,有无穷多个有理解,它们就是对

(1 + 1 / n) n, (1 + 1 / n) (n + 1)

我描述的三个解是n= 1 n=2 n=8。上面的推理表明,有理解(x,y)趋向于y接近x,这也意味着x和y接近e。很高兴看到解是最著名的收敛到e的有理序列。
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