a的n次方+b的n次方是多少（a，b，n是整数）

这个问题至少有两种解释方法。最明显的是有多少正整数a，b，n是一个+bna素数。从n=1的情况来看，显然有无限多这样的情况。

下一个最明显的解释是：如果我们固定n，对于有多少正整数a，b是an+bna素数，我们对n上的计数函数感兴趣，我用F（n）表示。

我们已经证明了F（1）=∞。证明F（2）=∞也不难，要做到这一点，你需要知道两件事：首先，质数p>2是两个平方的和，当且仅当它对于某个整数k是4k+1的形式时，你需要知道这样的质数是无限多的。第一个是关于平方和的经典Fermat定理，可以用相当初等的方法证明；第二个断言实际上更简单，可以通过对Euclid关于素数无穷多的证明的稍加修改来证明。

F（3）呢？由于a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2），这已经变得更加困难。当且仅当a2-a b+b2=1时，这可以是素数，而且这个方程实际上只有有限多个整数解，因为a，b>0，唯一的可能性是a=b=1。因此，F（3）=1。我将把它作为一个练习来展示，对于任何整数n，至少可以被一个奇素数整除，F（n）=1。

这就留下了k>1时确定F（2k）的问题。这是惊人的困难。实验证据和启发式方法表明F（2k）=∞-这相当于F（2k）≥2表示所有k>0，因为当然，如果我们可以将素数p写成a2k+b2k，这也给出了分解p=（a2）2k−1+（b2）2k−1。然而，据我所知，这是一个公开的问题！

事实上，直到1998年，Friedlander和Iwaniec才证明存在无限多的a2+b4形式的素数——这一证明依赖于一些相当复杂的筛理论。

我的猜测是，用现代工具确定k>1的F（2k）很可能是可能的，但我预计这将非常非常困难。