我将在贝瑞阶段及其在拓扑材料中的应用中回答这个问题。
在物理系统中，有一个有趣的问题要问。如果我以某种方式慢慢地改变这个系统然后慢慢地把它带回到它最初的位置，会有什么改变吗?天真的答案是“不”，但在现实中，答案可能是令人着迷的“是”。
假设有一个参数，您可以对其进行调优，以更改系统，然后将其恢复到初始状态。在量子系统中，当你这样做的时候，你需要考虑能级。如果，当我们调整参数时，量子能级永远不接触，那么量子态(能量本征态)可能拾取一个相位因子，可以导致可观察到的变化。这个阶段被称为浆果阶段。在能级不接触的情况下，这是阿贝尔的。
当我们改变可调参数时，两个能级不满足。
这种阿贝尔贝利相在拓扑材料的物理中起着突出的作用。有一些特殊的材料，比如陈化绝缘体，它们内部是绝缘体，表面是导体。电流只在它们的边界上流动这都和阿贝尔贝里相有关。
现在，当我们调整这个参数时，我们也可以看到能量级别可以接触的情况，如下图所示：
当我们改变可调参数时，两个能级在同一点相遇。
在这种情况下，与接触能级相关的能量本征态能够相互混合。例如，如果初始系统处于第一能级本征态，当我们调整参数时，第一能级和第二能级接触，那么系统的最终状态一般会处于第一能级和第二能级的叠加。不接触能级的能量本征态仍然可以得到阿贝尔贝里相。但对于那些确实接触的，它们得到了一个非阿贝尔贝里阶段，这正好描述了这种状态的混合。
这再次导致了可观察到的效果。例如，在拓扑材料的环境中，这种情况发生在在时间反转下看起来相同的2D材料中。它们内部再次绝缘，但现在它们的边界携带自旋电流。也就是说，电流并不沿着它的边缘流动，但我们有一个自旋流；电子沿着边缘在两个方向移动，所以没有电荷转移，但是这些电子有相反的自旋，这导致了非零的自旋转移。这都是由于能级混合和产生一个非阿贝尔贝里相。
这都是在拓扑绝缘体的背景下，但非阿贝尔材料比这更普遍，我们有影响，如编织。这里的另一个答案涵盖了其他系统。
