为什么曼德尔布洛特和茱莉亚集看起来如此怪异?

时间:2020-11-27 08:58:54   作者:
因为没人教过你去期待,或者观察,简单函数的动力学中令人惊叹的复杂之美。

我将解释。我试试看。这可能要花一点时间,但我会努力的。我们需要理解简单映射的动态行为,以及反馈循环的概念,以及为什么我们花了这么长时间才把我们的观点从把函数看作函数转变为把它们看作可以迭代的转换。

首先,对于那些不熟悉主题的人,这里是有问题的对象。警告:下面是非常漂亮的图片,但它们在这里不是为了发出惊叹声。他们在这里是因为他们是这个问题的主题。

曼德尔布罗特集合,从远处看:

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曼德尔布罗特集合,细节:

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典型的茱莉亚模式:

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我不知道我是否会用“weird”这个形容词来形容,但这些东西看起来确实复杂得令人难以置信,而且很漂亮。你想知道为什么它们看起来如此复杂,粗略的回答是它们是通过使用简单规则的迭代或反馈循环创建的,而迭代和反馈循环往往会从非常简单的步骤中产生巨大的复杂性。事实上,构建曼德尔布罗特或茱莉亚集所需的基本步骤并不像看上去那么简单。

换句话说,曼德尔布罗特集合和茱莉亚集合真的一点都不奇怪。如果我告诉你,我有数万亿分,我忙于他们的一些精神错乱,我继续爬一遍又一遍,然后我画一个颜色,如果他们保持密切联系和另一种颜色,如果他们飞到正无穷,你期望的结果是什么,一个矩形吗?

不,你会认为它很狂野。是的,是的。这就是曼德尔布洛特集合的构造方式。

曼德尔布罗特集合以及在简单的动力系统中产生的类似的混沌对象的惊人之处在于,它们显然是由最简单的转换生成的。但这就是问题所在,可能是这个答案中唯一值得记住的事情:简单的转换通常不像它们看起来那么简单,尤其是当你把它们反馈回它们自己的时候。

这些场景的另一个可能的惊喜是,他们设法同时表现出疯狂和高度结构化。我不知道有什么简单的方法来解释“为什么”;本质上,它是由迭代引入的复杂性与所涉及的数学对象的秩序性和精确性造成的。

几个世纪以来,当人们研究物理、工程或概率统计中出现的函数时,他们关注的是那些对物理、工程或统计有影响的函数:斜率和切线、面积和积分、极大值和极小值、根和奇点,诸如此类。

他们几乎完全没有做的一件事是探索迭代的思想:选择一个函数和一些起始值,然后应用这个函数到那个值,然后应用这个函数到结果,一次又一次地应用到新的结果,一次又一次。

这一遗漏有些令人惊讶,因为有一种非常富有成效的方法来研究各种系统的物理,通过探索时间的流逝如何使用相同的规则来重复推动它们。但是,为了有效地做到这一点,我们需要想象一个完整的物理系统被编码为一个“点”x,描述系统如何随着时间演变的物理定律被编码为一个函数或变换f。当我们对系统的状态重复应用f时,我们观察系统的演化。在这里,时间更自然地被视为离散的(像时钟一样滴答作响),但探索连续时间的转换也是可能的。

这一观点被称为动力系统,通常被认为是庞加莱提出的,始于19世纪的最后十年。稳定性和递归性的问题在庞加莱的研究中已经很明确了,而阿达玛早在1898年就偶然发现了一个受物理学启发的混沌系统。尽管如此,函数迭代的系统研究直到20世纪70年代都处于休眠状态,只有一个大的例外:加斯顿·朱丽亚(Gaston Julia)在1918年前后的著作(是的,“朱丽亚集”就是以他的名字命名的)。茱莉亚写了一篇关于理性函数迭代的大量论文,这篇文章几乎成了轰动一时的名篇,但这一领域仍然没有发展起来。

一个简单的解释是,我们需要计算机来为我们绘制这些令人惊叹的图片,一旦我们看到它们,我们必须开始理解为什么它们看起来如此不可思议——或者用Quora这个问题的语言来说,“如此怪异”。

如何从简单迭代产生的复杂性,我认为这是有用的场景,甚至比了曼德尔勃特集合简单。定义了曼德尔勃特集合使用复数时,很多人都不熟悉,事实证明,你不需要复数为了动力系统的力量感到震撼。普通的数字就可以了(甚至更简单的上下文,如字母序列也可以,但我的经验是,大多数人认为实际的函数更容易处理,至少一开始是这样)。

考虑一个简单的函数,比如f(x)=x2。你可能更熟悉的符号y = x2或x↦x2。没关系:这只是一个函数,它接受一个数字并返回它的平方。可以把它想象成一个只有一个输入和一个输出的框。无论流入的是什么,从另一端流出的都是平方。

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有些人,大多数是孩子,看到一个有输入和输出的盒子时,会情不自禁:他们将输出连接回输入,只是为了搅乱它,暗自希望有什么东西会爆炸。

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我将输入重命名为“x0”,因为它现在只是初始值:我们以某个x0开始这个过程,然后让函数对它平方,再平方,再平方,再平方。会发生什么?

这显然取决于x0是多少。例如,如果x0=0,那么什么也不会发生。值保持为0x0=1也是一样。这是因为02=0 12=1。

但是,如果x0=2,那么平方过程将得到4、16,256、65536等等。这些数字增长得非常快,而且“飞向无穷大”。某种意义上,某些东西会爆炸:如果盒子是一台真正的计算机,它将很快无法处理这些数字。

即使x0=1.01也是一样的。这将需要更多的迭代,但数字仍然会飞向无穷大。

但如果x0=0.99,情况就大不相同了。数值迅速下降,越来越接近0。在六个迭代中,我们达到了大约0.5,然后从那里它就像自由落体一样下降到0。从0。3或- 0。7开始也是一样的。

函数f(x)=x2的动力学图可以总结为:



我们有两个“固定点”,0和1,它们保持不变,但0是“吸引的”(附近的数字飞向它),而1是“不稳定的”或“排斥的”(附近的数字飞离它)。绿色区域仍然很小,实际上是流向0。红色区域标志着起点,最终会飞得很远很远。

这看起来并不复杂,其实也并不复杂。你可能会想如果我们用一些其他简单的函数来替换x2结果会保持不变。

他们没有。

考虑函数f(x)=−32x2−12x+1。从表面上看,这看起来完全是同一类函数:它是一个二次函数,或“抛物线”,正如我们被训练来直观地思考它一样。x2(蓝色)和f(x)(红色)的图形看起来差不多,只是稍微移动了一下,然后上下颠倒了一下。

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但是f(x)的动力学是非常不同的。我们先从- 1开始,先是0,然后从0到1,再从那里回到- 1。简而言之,−1→0→1→−1。

这被称为“3循环”,因为我们有三个数字循环地交换位置。对于x2,我们还没有见过3个周期,或者任何类型的周期,除了它有不动点(可以合理地称为“1个周期”)。x2显然没有任何非平凡循环。

令人难以置信的是,由于f(x)有一个3循环,它也有一个2循环,一个4循环,一个17循环,一个1000,000,000000循环,一个谷歌周期,等等。对于任何你想提到的数,这个函数有一个正好是这个长度的循环。它有一个点移动到另一个点,再一个,再一个,经过1023+17步后,它会回到开始的地方。完全正确。这些点不必找得很远,因为它们都在−2和−2之间。一切离0远的东西都无聊地飞向无穷远,就像以前一样。

此外,其他点的表现更加混乱,以非常非常复杂的模式跳舞。有些合并到循环中,意味着它们跳跃一段时间,然后进入一个短周期或长周期(例如,看看17√- 16会发生什么)。其他人只是永远跳来跳去,没有明显的韵律或理由。

我们之前画的漂亮的绿红图不可能画在这里。我们会有无限多个彩色的独立点,代表这些循环。它们之间的间隔没有单一的颜色:它们是无限多种颜色的混合,表示它们需要多长时间才能稳定下来。混乱,这是一种很好的说法,完全是血腥的混乱。

我不知道如何在一个单维的细线上画出一堆乱七八糟的东西,但是如果我们假装把线“加粗”一点到二维,它看起来会是这样的(这只是为了演示的目的)。我真的不知道如何画这个函数的动力学)。

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你可能在高中时见过很多次像f(x)=−32x2−12x+1这样的函数。你画了它们,计算了它们的根,也许你得到了它们的导数和积分,但是你从来没有发现它们对实数的转换是如此的复杂。并非只有你一个人:19世纪及更早的数学家不太可能看到这条抛物线和另一条抛物线有多大区别。但正如我们所见,这样的二次曲线可以表现出完全不同的动力学性质。

Mandelbrot集和Julia集的定义方式与我们刚才讨论的几乎完全相同。我们研究的函数是f(z)=z2+c,其中z现在是复数,c是某个复常数。不过,这些只是二次函数,比如f(x)。对于Mandelbrot集,我们总是从z0=0开始,我们研究c的哪些值保持迭代的有界性,以及哪些值使迭代飞到无穷大。Mandelbrot集是所有这些值c的集合,对于这些值,这个迭代保持有界。

对于Julia集,我们做同样的事情,只是现在c是固定的,并且我们为每个可能的起始值z绘制行为图。因此我们有一个Mandelbrot集和无穷多个Julia集,每个c的选择都有一个。事实上,我们可以想象出Julia集的序列,当我们改变参数c时,它们会发生变化,得到这样的结果:

如果c属于曼德尔布罗特集,那么对应于c的茱莉亚集是精确相连的,关于这些集合,还有很多其他奇妙的定律和定理。

那么,为什么它们看起来这么奇怪呢?我的观点是,如果他们没有这样做,那将是令人惊讶的。z变换↦z2 + c将复数映射到彼此在一个非常复杂的方式,就像f (x) = 32 x2−−12 x + 1的实数。我们对这个变换进行迭代,使附近的点遵循非常不同的轨迹,比如在映射x2中靠近1的点。难怪结果看起来像分形尘埃。
 
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